به نام خدا قابل استفاده برای کلیه دانشجویان مهندسی و علوم پایه مدرس: هوشمند عزیزی

Transcript

1 به نام خدا قابل استفاده برای کلیه دانشجویان مهندسی و علوم پایه مدرس: هوشمند عزیزی دانشگاه فنی و حرفه ای کرمانشاه زمستان 39

2 فرمت نمایش اعداد : با توجه به دقت و تعداد ارقام اعشاری قابل قبول در محاسبات می توان فرمت نمایش اعداد را در محیط matlab انتخاب کرد.با فرض اینکه وارد شود نمایش این عدد به صورت زیر می باشد. توضیحات دستور 61 رقم Format long 61 رقم به اضافه توان e+000 Format long e نمایش پیش فرض- 4 رقم اعشار Format short 5 رقم به اضافه توان e+000 Format short e 2 رقم اعشاری 1.41 Format bank مثبت به منفی یا صفر + Format + نمایش کسری 1393/985 Format rat با تایپ کردن هر کدام از این دستورات در محیط matlab محاسبات با این فرمت انجام می شود.برای محاسباتی که نیاز به دقت باال داریم و می خواهیم خطاهای گرد کردن توسط کامپیوتر حداقل شود می توان از Format long استفاده کرد. در باره ی متغییر ها : در نامگذاری متغییرها حروف بزرگ و کوچک یکسان در نظر گرفته نمی شوند. نام متغییر باید حداکثر از 61 کارکتر تشکیل شود و کارکترهای بعد از آن حذف می شوند.اولین کارکتر تشکیل دهنده ی نام متغییر با حرف الفبا شروع می شود و به دنبال این کارکتر می تواند کارکترهای حروف الفبا ارقام و عالمت قرار بگیرد.از کارکترهای نقطه گذاری نباید استفاده شود زیرا این کارکترها در matlab معانی ویژه ای دارند. چند متغییر ویژه : =Ans متغییری که به طور پیش فرض برای نتایج استفاده می شود.مثال اگر تایپ کنیم بعد از زدن Enter مقدار در متغییر ans ذخیره می شود. =Pi همان 4164 π می باشد.

3 =eps کوچکترین عدد در matlab که اگر با یک جمع شود عددی بزرگتر از یک را می دهد. Flops =تعداد عملیات ممیز شناور..هرگاه در محاسبات عمل تقسیم بر صفر رخ دهد این متغییر به عنوان خطا داده.هر گاه تقسیم صفر بر صفر رخ دهد این متغییر به عنوان خطا داده می Inf =بی نهایت می شود. = Nan مقدار مبهم شود. = Real min کوچکترین عدد حقیقی مثبت. = Real max بزرگترین عدد حقیقی مثبت. تذکر : اگر بعد از فرمان از نمادی استفاده نشود نتیجه آن فرمان نمایش داده می شود ولی عالمت سیمیکالون ( ; ) از چاپ نتیجه جلوگیری می کند. >> >>, >> ; در حالت اول و دوم بعد از زدن enter حاصل داده می شود ولی در حالت آخر خروجی داده نمی شود بلکه مقدار در متغییر ans یا متغییر داده شده ذخیره می شود.دانستن این مطلب در محیط برنامه نویسی ضروری می باشد. توابع ریاضی: توابع معروفی که در matlab قابل دسترسی می باشند در زیر داده شده اند. قدر مطلق عدد حقیقی x یا طول عدد مختلط x Arc cos (x) Arc cos h (x) Arc sin (x) Arc sin h (x) Arc tg (x) مزدوج عدد مختلط x abs(x) acos(x) a cos h(x) a sin(x) a sin h(x) a tan (x) con j(x)

4 کسینوس کسینوس هیپربولیک e x به سمت صفر گرد می کند بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح x و y قسمت موهومی عدد مختلط x کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح x و y Ln(x) لگاریتم در مبنای قسمت حقیقی عدد مختلط x باقیمانده تقسیم به سمت نزدیکترین عدد صحیح گرد می کند cos (x) cos h(x) exp(x) fix(x) gcd(x) imag(x) Lcm(x,y) log(x) log10(x) real(x) rem(x,y) round(x) عالمت x را بر می گرداند سینوس sign(x) sin(x) سینوس هیپربولیک جذر عدد x تانژانت تانژانت هیپربولیک sin h(x) sqrt(x) tan(x) tan h(x) چند تابع M فایل : از این توابع برنامه نویس بر اساس نیاز خود می تواند در برنامه استفاده کند.

5 =Input برای گرفتن ورودی از کاربر منتظر می ماند.در نوشتن برنامه ها می توان در مواقع لزوم از این تابع استفاده کرد. =Key board موقتا کنترل برنامه به صفحه کلید داده می شود.در این حالت برنامه تا قبل از کلمه ی key board اجرا شده است و می توان هر تغییراتی در برنامه داد.برای خروج از این حالت و ادامه ی اجرای برنامه کلمه ی retrun را باید تایپ کرد. =Pause توقف در اجرای برنامه ایجاد می شود تا زمانی که کاربر کلیدی را فشار دهد. =Pause(n) به مدت n ثانیه اجرای ادامه ی برنامه متوقف می شود. کنترل پنجره فرمان : =clc متن موجود در پنجره فرمان را پاک می کند و یک صفحه ی جدید در اختیار شما قرار می دهد. =Diary متن پنجره فرمان را در یک فایل ذخیره می کند.در مواقعی که می خواهیم خروجی برنامه ذخیره شود از این دستور استفاده می کنیم. =Home مکان نما را به گوشه چپ باال منتقل میکند. =More پنجره فرمان را صفحه به صفحه متوقف می کند.در مواقعی که می خواهیم اجرای برنامه چندین صفحه می باشد برای مطالعه هر صفحه از این دستور می توان استفاده کرد. فرمان : help اگر نام عنوان را بدانیم و بعد از کلمه ی help آن را تایپ کنیم راهنماییهای الزم و مثال در مورد آن عنوان آورده می شود ولی اگر عنوان ناشناخته باشد پیغام خطا داده می شود. مثال با تایپ >>help sqrt تمام اطالعات مربوط به تابع sqrt همراه با یک مثال آورده می شود.

6 اگر فرمان help بدون عنوان تایپ شود بعد از اجرا تمام عنوان های شناخته شده برای matlab را لیست می کند.از داخل این لیست می توان عنوان مورد نظر را انتخاب کرد. آرایه ها : برای ساختن آرایه ها چندین روش وجود دارد با توجه به اینکه اندیس آرایه در matlab با 6 شروع می شود. 6 -عناصر آرایه را خودمان تایپ کنیم.باید بین این عناصر یک فاصله زده شود. مثال: >> x = [ ] ; یک آرایه با 4 عنصر می باشد که داریم X(1) = 10, x(2) = 2, x(3) = 3, x(4) = 14 حال آرایه ی x به عنوان دامنه برای هر تابعی که تعریف شود می تواند عمل کند.مثال اگر >> y = x ^ 2 ; در این صورت y آرایه ای با 4 عنصر به صورت زیر می باشد. Y(1) = 100, y(2) = 4, y(3) = 9, y(4) = 196 >> x (3) Ans = 1.4 خروجی 614 را می دهد. دستور : >> x (2 : 5 ) Ans = عناصر )2(x تا )5(x را می دهد. دستور :

7 >> x (4 : -1 : 2 ) Ans = با عنصر )4(x شروع می کند هر بار یکی کم می کند تا عنصر )2(x دستور : >> x (2 : 2 : 5) Ans = با عنصر )2( x شروع می کند هر بار دو واحد اضافه می کند و هنگامی که به عنصر )5(x رسید متوقف می شود.در این مثال افزودن 2 به عدد 4 عدد 1 را تولید می کند که از 5 بزرگتر است بنابراین عنصر ششم یعنی )1(x درنظر گرفته نمی شود. دستور : >> y = x ( [2 1 4] ) Y = باعث می شود آرایه y با 4 عنصر به صورت زیر ساخته شود. Y(1) = x(2), y(2) = x(1), y(3) = x(4) اگر بین عناصر یک آرایه سمیکالون قرار داده شود آن آرایه ها حالت ستونی چاپ می شود. >> x (5 ; -1 ; 6) بعد از زدن Enter بردار ستونی x تولید می شود X = ) نیز می توان بردار ستونی ایجاد کرد با استفاده از عملگر ترانهاده ) >> x = 1 : 4

8 با اجرای دستور : X = در حالت x = a : h : b دراین صورت آرایه ی x با شروع a و با ختم به b با طول گام h تولید می شود. مثال اگر : >> x = 0 : 0.2 : 1 ; در این صورت آرایه ی x با 1 عنصر به صورت زیر تولید می شود. X(1) = 0, x(2) = 0.2, x(3) =0.4, x(4) = 0.6, x(5) = 0.8, x(6) = 1 حال از آرایه ی x می توان به عنوان دامنه ی یک تابع استفاده کرد. مثال اگر : >> y = sin (x); در این صورت آرایه ی y با 1 عنصر به صورت زیر ساخته می شود. y(1) = 0, y(2) = , y(3) =0.3894, y(4) = , y(5) = , y(6) = اگر h داده نشود یعنی x=a : b در این صورت 1= h در نظر گرفته می شود. 4- اگر تایپ کنیم (a,b,n) x = Lin space در این صورت با شروع a و ختم b آرایه ی x با n عنصر ساخته می شود. مثال اگر: >> x = Lin space (0,2,5) ; در این صورت آرایه ی x با 5 عنصر به صورت زیر ساخته می شود. X(1) = 0, x(2) = 0.5, x(3) =1, x(4) = 1.5, x(5) = 2 یعنی توسط این تابع می توانیم مستقیما تعداد عناصر آرایه )n عنصر( را مشخص کرد. تابع Log space آرایه ای با مقیاس لگاریتمی ایجاد می کند. درحالت( a,b,n ) Log space عنصری با شروع 10 a و 10 b ختم ایجاد می شود.مثال اگر: آرایه ای n >> x = Log space (0, 2, 3) ; در این صورت آرایه ی x با 4 عنصر به صورت زیر ساخته می شود.

9 X(1) = 1, x(2) = 10, x(3) =100 فراخوانی عناصر آرایه : دستور x(i) باعث می شود عنصر i ام آرایه x داده شود. دستور (j x(i : باعث می شود از عنصر i ام تا عنصر j داده شود. دستور (j x(i : 1- : باعث می شود از عنصر i شروع کند هر بار یکی کم کند و در j توقف کند.( j i) دستور (j x(i : n : باعث می شود با عنصر i شروع شود در هر مرحله n گام به جلو رود و به این طریق تا عنصر j ام داده شود. دستور ([8 y=x([2 3 باعث می شود آرایه ی جدید y ساخته شود که عنصر اول آن عنصر دوم x عنصر دوم آن عنصر سوم x وعنصر سوم y عنصر هشتم xباشد.یعنی Y(1) = x(2), y(2) = x(3), y(3) = x(8) مثال اگر >> x = 1 : 0.2 : 2 ; در این صورت آرایه ی x به صورت زیر ساخته می شود. X(1) = 1, x(2) = 1.2, x(3) =1.4, x(4) = 1.6, x(5) = 1.8, x(6) =2 در این صورت دستور: بردار ستونی y تولید می شود Y =

10 عملگر نقطه ترانها ده ).( به عنوان ترانهادی مزدوج تعریف می شود. یعنی آرایه ی سطر به ستونی و یا آرایه ی ستونی به آرایه ی سطری تبدیل می شود و عناصر آن مزدوج می شوند.می دانیم اگر z= a + i >> a = (x * i) i 1 + 2i 1 + 3i 1 + 4i b در این صورت مزدوج آن =z a i b می باشد. با اجرای دستور آرایه حالت ستونی و مزدوج می شود و در آرایه ی جدید b ذخیره می شود. b = 1 - i 1-2i 1-3i 1-4i ساختن ماتریس : کافی است هر گاه عناصر یک سطر تمام شد سمیکالون زده شود. >> A = [1-1 2 ; ; 1-1] A= برای جمع و تفریق دو آرایه یا ماتریس هم بعد از عالمت های )+( و )-( استفاده می کنیم.برای ضرب دو ماتریس )شرایط ضرب برقرار باشد( و یا ضرب یک عدد در ماتریس از عالمت )*( استفاده می شود. عالمت ضرب نقطه ای )*.( باعث می شود که در ضرب آرایه ها یا ماتریس عناصر متناظر در هم ضرب شوند.برای تقسیم آرایه به آرایه نیز از عالمت )/.( یا )\.( استفاده می شود. در هر دو حالت آرایه ای که

11 در زیر اسلش قرار دارد بر آرایه ای که در باالی اسلش قرار دارد تقسیم می شود.اگر A.\B دراین صورت عناصر ماتریس A متناظرا بر عناصر ماتریس B تقسیم می شود که نتیجه ی آن با B./A یکی می باشد. عالمت ^ برای توانهای ماتریس )A^2=A*A( و ^. برای توانهای عنصر به عنصر استفاده می شود. دستکاری در آرایه ها : به طور خالصه چند دستور زیر می تواند در برنامه نویسی استفاده شود. سطر i ام ماتریس A را در بردار x قرار می دهد. ستون i ام ماتریس A را در بردار x قرار می دهد. با حذف ستون i ام ماتریس A ماتریس Aی جدید می سازد. اندازه آرایه : در این مورد چند تابع مهم معرفی می شوند. >> x = A (i, : ) ; >> x = A (:, i); >> A (:, i) = [ ] ; : Whose متغییرهای موجود در محیط کاری و اندازه آنها را نمایش می دهد. size(a) : s = بردار s را با دو عنصر برمی گرداند.اولین عنصر تعداد سطرهای A و دومین عنصر تعداد ستون های A می باشد. size(a) ]: r, c =[ = در متغییر r تعداد سطرها و در متغییر c تعداد ستونها قرار داده می شود. 1), (A : r = size تعداد سطرهای A در متغییر r ذخیره می شود. 2), (A : c = size تعداد ستون های A در متغییر c ذخیره می شود. (A) : n = Lenth ماکزیمم تعداد سطر یا ستون ماتریس A را در متغییر n ذخیره می کند. توابع دستکاری آرایه :

12 Flipud(A) : ماتریس A را واژگون می کند. rot90(a) : ماتریس A را 19 درجه دوران می دهد. diag(a) : قطر ماتریس A را به صورت بردار ستونی می دهد. diag(v) : یک ماتریس قطری ایجاد می کند که قطر آن بردار V باشد. tril(a) : قسمت پایین مثلثی ماتریس A را می دهد. triu(a) : قسمت باال مثلثی ماتریس A را می دهد. حل معادالت خطی : اگر A یک ماتریس مربعی باشد برای حل دستگاه Ax=b می توان از روشهای زیر استفاده کرد. >> x = inv (A) * b که inv(a) یکی از تابع های matlab می باشد و معکوس A را محاسبه می کند.چون برای ماتریسهای با بعد بزرگ محاسبه ی معکوس A مشکل و وقت گیر می باشد این روش کمتر استفاده می شود.روش استفاده از عملگر تقسیم چپ ماتریسی به صورت زیر برای حل دستگاه استفاده می شود. >> x = A\b در این روش از تجزیه LU ماتریس A استفاده می شود. اگر تعداد معادالت بیشتر از تعداد مجهوالت باشد بهترین روش برای حل دستگاه غیر مربعی Ax=b استفاده از عملگر / یا \ می باشد.در این روش جواب کمترین مربعات برای دستگاه پیدا می شود.)نسبت به نرم 2 خطا حداقل می باشد.( مثال اگر : >> A = [ : : : ] ; >> b = [ 366 ; 804 ; 351 ; 514 ] ; >> x = A\b X =

13 دقت شود این جواب در دستگاه Ax=b صدق نمی کند بلکه خطای رخ داده شده نسبت به فرم 2 حداقل می باشد. داریم: >> e = A * x b e = بردار خطا یعنی e کمترین مقدار این دستگاه در نظر گرفته شود. را دارد نسبت به هر x دیگری که به عنوان جواب تقریبی برای روش دیگر محاسبه ی x=pinv(a)*b می باشد که اساس این روش برای حل استفاده از شبه وارون می باشد.در این روش طول یا نرم x )جواب( از نرم همه ی جوابهای ممکن کوچکتر خواهد بود. >> A = [ ; ; ] ; ; >> x = A \ b X = >> y = pinv(a)*b Y =

14 30/ / / /0545 در جواب x مقدار خطا یعنی e = A*x-b نسبت به نرم 2 نسبت به تمام جوابهای تقریبی دیگر حداقل می باشد و لی در جواب y نرم این جواب نسبت به نرم x کمتر می باشد. >> norm (x) ans = >> norm (y) ans = همانگونه که مشاهده می شود norm (y) < norm (x) >> norm (A*x-b) ans = e-013 >> norm (A*y-b) ans = e-013 ولی در نرم خطا برای جواب x از جواب y کمتر می باشد.چون برای x نرم خطا و برای y می باشد توابع ماتریسی : A تجزیه چولسکی ماتریس : chol (A)

15 cond(a) :عدد شرطی ماتریس. A بردارهای ویژه ی ماتریس : d = eig (A) A مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی ماتریس : [ V, D ] = eig (A e A. A دترمینال ماتریس : det (A) A ماتریس نمایی : expm (A) (A) : expm2 ماتریس نمایی با استفاده از سری تیلور. expm3(a) : ماتریس نمایی با استفاده از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه.)به یک کتاب جبر خطی عددی مانند [10] مراجعه شود.( hess(a) : فرم هسنبرگی ماتریس A را تولید می کند. inv(a) : معکوس ماتریس A را محاسبه می کند. (Ln A).A محاسبه ی لگاریتم ماتریس : Logm(A) Lu(A) : تجزیه Lu ماتریس A به روش حذف گاوسی. A. نرم یک ماتریس یا بردار : norm(a,1) A. نرم دوم)نرم اقلیدسی( ماتریس یا بردار : norm(a,2) norm(a,inf) : نرم بی نهایت..A برای بردار P نرم : norm(a,p) pinv(a) : متعامد سازی. A. چند جمله ای مشخصه ی ماتریس : poly(a) A. محاسبه ی چند جمله ای مشخصه ماتریس : Poly valm(a). A تجزیه مثلثی متعامد ماتریس : qr(a) : مقادیر ویژه ی تعمیم یافته. qz(a,b) A. مینیمم تعداد سطرها یا ستونهای مستقل خطی ماتریس : rank(a)

16 . A سطری پلکانی شده ماتریس : rref(a). A تجزیه شور ماتریس : schur(a). A ریشه ی دوم ماتریس : sqrtm(a). A تجزیه ی مقدار تکین ماتریس : svd(a). A مجموع درآیه های قطری ماتریس : trace(a) ماتریس های ویژه : در matlab تعدادی ماتریس مبهم وجود دارند که دارای کاربردهایی در برنامه نویسی می باشند. Zeros(n) : یک ماتریس n n با درآیه های صفر تولید می کند. ones(m,n) : یک ماتریس m n با درآیه های یک تولید می کند. Rand(m,n) : : یک ماتریس m n که اعدادش اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت در فاصله ی صفر و یک می باشند ساخته می شود. rand(n) : یک ماتریس n n تصادفی تولید می کند. eye(n) : ماتریس همانی با بعد n تولید می کند. eye(m,n) : یک ماتریس m n همانی تولید می کند. hadamard(n) : یک ماتریس هادامارد n n تولید می کند. hankel(n) : یک ماتریس هنکل n n تولید می کند. hilb(n) : ماتریس هیلبرت n n تولید می شود. Invhilb(n) : وارون ماتریس هیلبرت n n تولید می شود. magic(n) : مربع جادویی n n تولید می شود. pascal(n) : ماتریس مثلثی پاسکال n n را تولید می کند. vander(n) : ماتریس واندرموند n n تولید می شود.

17 wilkinson(n) : ماتریس تست n n مقدار ویژه ی ویلکینسون تولید می شود. ساختارهای تصمیم گیری : if- در matlab سه ساختار تصمیم گیری یا کنترلی وجود دارد.حلقه ی For حلقه ی while و ساختار. else-end این ساختارها بسیاری از فرمانهای matlab را شامل می شوند و در قسمت برنامه نویسی بسیار و به سهولت استفاده می شوند.برای وارد شدن به محیط برنامه نویسی از منوی File گزینه ی M File را کلیک می کنیم.بعد از نوشتن برنامه در محیط داده شده برنامه را ذخیره می کنیم. برای اجرای برنامه کافی است که در محیط اصلی Matlab نام برنامه را نوشته و دکمه ی Enter را بزنیم. حلقه ی : For با این حلقه می توان گروهی از فرمانها را به تعداد دفعات ثابت از قبل مشخص شده تکرار کرد.فرم کلی حلقه ی For به صورت زیر می باشد. For x = array مجموع دستورات End یعنی برای هر for یک end الزم می باشد. For n = 1 : 10 X (n) = sin (n * pi/10) ; End >> x = در این مثال با مقدار دهی به n با 69 تکرار مقادیر محاسبه می شود. حلقه ی : while بر خالف حلقه ی for که تعدادی از دستورات را به تعداد دفعات ثابت انجام می دهد حلقه ی while گروهی از فرمانها را به تعداد دفعات نامشخص تا بر قرار بودن شرط اجرا می کند.

18 while ( شرط ) i = 1 ; دستورات End تا موقعی که ارزش شرط درست می باشد این مجموعه دستورات اجرا می شود. مانند حلقه ی For while i < 10 x (i) = i ; i = i + 1 ; end X = متناظر با دستور end, while الزم می باشد. خروجی این برنامه به صورت زیر می باشد. به عنوان نمونه به قسمت برنامه های نوشته شده مراجعه شود. ساختار : if else if در بسیاری مواقع دنباله ای از فرمانها باید به طور شرطی و بر مبنای تست رابطه ای ارزیابی شوند. این For i = 1 : 10 if ( i >= 1 ) AND ( i < 5 ) x ( i ) = i ^ 2 ; else x ( i ) = i ; end end نوع ساختار در محیط های برنامه نویسی بسیار استفاده می شود.

19 خروجی این برنامه به صورت زیر می باشد. X = در قسمت شرط )if( باید تمام شرایط برقرار باشند تا دستورات بعد از if اجرا شود در غیر این صورت دستورات بعد از elseاجرا می شود. چند جمله ایها : در matlab یک چند جمله ای با بردار سطری ضرایبش در ترتیب نزولی نمایش داده می شود. مثال به صورت زیر وارد می شود. چند جمله ای >> P = [ ] P = دقت شود جمله هایی که ضریب صفر دارند باید وارد شوند. با مشخص بودن بردار ضرایب چند جمله ای به کمک توابع roots ریشه های چند جمله ای محاسبه می شوند. >> x = roots (p) X = i i با مفروض بودن ریشه ای یک چند جمله ای می توان آن چند جمله ای را ساخت. بدین منظور تابع poly به کار می رود. با استفاده از مثال قبل اگر قرار دهیم. >> p = poly (x) P = 1.0e + 02* i بردار p به عنوان ضرایب چند جمله ای که بردارx ریشه های آن می باشد داده می شود. ( به علت خطای گرد کردن ممکن است ضرایب به صورت مختلط تولید شوند.برای ) استخراج ضرایب به صورت حقیقی از تابع real استفاده می شود.

20 >> P = real (p) P = ضرب چند جمله ایی : با مشخص بودن ضرایب چند جمله ایها تابع conv عمل ضرب را انجام می دهد.مثال اگر: در این صورت >> a = [ ] ; b = [ ]; >> c = conv (a, b) C = یعنی حاصلضرب a(x) در ( b(xبه صورت زیر می باشد. برای ضرب بیش از دو چند جمله ای باید از تابع conv را به طور مکرر ستفاده کرد. جمع چند جمله ای ها : در matlab تابع مستقیمی برای جمع چند جمله ایها وجود ندارد.اگر دو بردار ضرایب چند جمله ایها اندازه یکسان داشته باشند می توان از جمع آرایه ای استفاده کرد. در مثال قبل قرار می دهیم : >> d = a + b d = یعنی در صورتی که بردار ضرایب دو چند جمله ای برابر نباشند با اضافه کردن صفر آنها را برابر می کنیم. مثال >> e = c + [ d ] e =

21 برای اینکه دو چند جمله ای c(x) و d(x) قابل جمع باشند ضرایب و و را در d(x) صفر قرار می دهیم تا هر دو چند جمله ای ضرایب آنها آرایه ای 7 عضوی شود. در جعبه ابزار matlab پیشرفته تابع mmpadd برای جمع دو چند جمله ای استفاده می شود. >> f = mmpadd ( c, d ) f = در این حالت مانند قبل دیگر الزم نیست بعد بردار ضرایب دو چند جمله ای یکسان باشند. از mmpadd می توان برای عمل تفریق نیز استفاده کرد. >> g = mmpadd (c, -d) g = یعنی تقسیم چند جمله ایها : برای تقسیم دو چند جمله ای در matlab از تابع decnov استفاده می شود. >> [q, r ] = decnov (c, d) q = r = در این مثال چند جمله ای c(x) بر d(x) تقسیم می شود.( q(x به عنوان خارج قسمت و r(x) باقیمانده می باشد.( r(x c(x) = d(x) q(x) مشتق گیری : در matlab تابع polyder برای مشتق گیری از یک چند جمله ای استفاده می شود.از قبل تابع g(x) را داریم.قرار می دهیم >> h = polyder(g)

22 h = یعنی محاسبه چند جمله ایها : با استفاده از تابع polyval به صورت (x polyval(p, می توان چند جمله ای p(x) را در نقطه ای داده شده ی x محاسبه کرد. >> x = 1 : 1 : 5 ; >> p = [ 1 6 ] ; >> v = polyval (p,x) v = در این مثال + 6 x P(x) = در نقاط 5,4,3,2,1 محاسبه می شود و در بردار v ذخیره می شود. با استفاده از تابع plot می توان نمودار این تابع را رسم کرد. >> plot(x, v) ; نموداری رسم می شود که نقاط بردار x طول و نقاط بردار v عرض آن می باشند. چند جمله ایهای کسری : تابع residue عمل بسط جزیی کسرها را انجام می دهد.مثال اگر کسر زیر را داشته باشیم : در این حالت صورت کسر به طریق [1,2] * 10 = f وارد می شود و مخرج به صورت 3- ; 1-]) poly g = ([ 4- ; وارد می شود. >> f = 10 * [1,2] >> g = poly ([-1 ; -3 ; -4]); >> [x, y, k] = residue (f, g)

23 X = Y = K = [ ] بردار x صورت کسرهای تجزیه شده بردار y متانظر )ریشه های مخرج( و k جمله ی ثابت بسط جزیی کسر می باشد. یعنی تابع residue عکس عمل فوق را نیز انجام می دهد. >> [ n, d ] = residue [ x, y, k ] n = d = که n ضرایب صورت کسر یعنی صورت x و d ضرایب چند جمله ای مخرج می باشد یعنی مخرج به صورت زیر می باشد. تابع polyder از چند جمله ایهای کسری نیز مشتق می گیرد به این طریق که می نویسیم polyder(x,y) که x صورت کسر و y مخرج کسر می باشد. >> [a,b] = polyder (f, g)

24 a = b = g و f ضرایب مخرج حاصل مشتق گیری می باشد. با توجه به توابع b ضرایب صورت و a برازش منحنی : در matlab تابع polyfit مساله برازش منحنی کمترین مربعات را حل می کند. برای استفاده از این تابع باید داده ها و درجه ی چند جمله ای که می خواهد بهترین برازش برای داده ها باشد به تابع داده شود.اگر مرتبه را 1=n بدهیم بهترین تقریب خط راست حاصل می شود که معموال رگرسیون خطی نامیده می شود. اگر مرتبه را 2=n قرار بدهیم یک چند جمله ای درجه ی 2 پیدا می شود.این تابع به صورت Polyfit(x,y,n) به کار می رود که x نقاط طول y نقاط عرض و n درجه ی چند جمله ای برازش دهنده می باشد. >> x = [ ] ; >> y = [ /2 ]; >> p = polyfit (x, y, 2) P = یعنی بهترین چند جمله ای درجه ی 2 برازش دهنده بر نقاط (y x), به صورت زیر می باشد. درونیاب یک بعدی : ساده ترین درونیابها در matlab نمودارهایی می باشند که توسط تابع plot رسم می شوند.این نوع درونیاب درونیاب خطی می باشد. یعنی نقاط داده شده توسط خطوط راست به هم وصل می شوند.اگر تعداد نقاط درونیاب زیاد باشد وصل شدن خطوط راست به یکدیگر قابل مشاهده نیست و نمودار تابع به صورت منحنی رسم می شود.

25 >> x1 = Lin space (0, 2*pi, 60) >> x2 = Lin space (0, 2*pi, 6) ) ) در حالت اول درونیاب با 19 نقطه و در حالت دوم با 1 نقطه رسم می شود. برای برچسب زدن روی محور xها از دستور xlabel و برچسب محور yها از ylabel استفاده می شود.برای نوستن عنوان نمودار از دستور title استفاده می شود. برای محاسبه ی درونیاب یک نقطه ای از تابع interp1 به صورت interp1(x,y,x0) استفاده می شود. که x نقاط طول و y نقاط عرض برای محاسبه ی تابع درونیاب و x0 نقطه ای می باشد که می خواهیم تابع درونیاب در آن محاسبه شود. >> x = 1 : 12 ; >> y = [ ] ; می توان مقدار تابع درونیاب را در بیشتر از یک نقطه نیز محاسبه کرد. >> interp1 (x, y, 9.3) ans = >> interp1 (x, y, [ ] ) ans = ans = تابع interp1 درونیاب اسپیالین درجه ی سه را نیز ارائه می کند.به صورت ) )

26 نتیجه بدست آمده همانطور که می دانید از درونیاب معمولی بهتر می باشد. قابل ذکر است که در تابع interp1 دو محدودیت وجود دارد. اوال نقطه ی اجرا نمی شود. داده شود )اگر باید در محدوده ی دامنه ی تابع باشد تا مقدار درونیاب در در محدوده ی دامنه نباشد برونیابی نامیده می شود.( مثال دستور زیر >> interp1 ( x, y, 12.5 ) چون x بین 6 و 62 تغییر می کند. ثانیا متغییر مستقل )دامنه( باید یکنواخت باشد. یعنی مقادیر متغییر مستقل همیشه باید افزایش یا کاهش یابد. در مثال زیر interp1 تابع قابل اجرا نمی باشد. چون متغییر مستقل x یکنواخت نمی باشد. درونیاب دو بعدی : >> x = [ 7 : 12 1 : 6 ] X = مانند درونیاب یک بعدی می باشد با این تفاوت که تابع دو متغییره z=f(x,y) درونیابی می شود. مثال زیر را در نظر می گیریم. >> x = 1 : 5 ; >> y = 1 : 3 ; >> z = [ ; ; ] در این مثال x,y متغییرهای مستقل و z تابع می باشد. مثال 81=(1,1)z. 86=(5,3)z فرض کنید می خواهیم در y ثابت 2 مقدار درونیاب z را در نقاط با طول گام 912 محساسبه کنیم. قرار می دهیم : >> x1 = 1 : 0.2 : 5 ; >> y1 = 2 ; >> z1 = interp 2 (x, y, z, x1, y1 ) ;, x1, z2 ) ; ) ;

27 در این مثال z1 مقادیر درونیاب دو بعدی خطی تابع (y z f= x), برای نقاط x1 و y1 ثابت می باشد و z2 درونیاب درجه سوم دوبعدی برای تابع z می باشد. با کمک تابع plot نمودار (z1 x1 )به, صورت خط و تابع )z2 x1), در حالت عادی رسم می شود. با توجه به شکل درونیاب z2 بهتر می باشد. حال اگر بخواهیم درونیاب را در دو جهت انجام دهیم می نویسیم : >> x1 = 1 : 0.2 : 5 ; >> y1 = 1 : 0.2 : 3 ; ) ; در این حالت متناظر با هر نقطه ی x1 و y1 یک مقدار برای بردار z1 تولید می شود. چون x1 شامل 46 عنصر و y1 شامل 26 عضو می باشد پس z1 شامل عنصر می باشد که مقادیر درونیاب تابع z در نقاط گره ای x1 و y1 می باشد. با استفاده از تابع mesh می توان شکل 4 بعدی حاصل را رسم کرد. به طور کلی برای تابع درونیاب دو بعدی تابع interp2 به صورت زیر استفاده می شود. >> mesh(x1, y1, z1) Interp2(x, y, z, x1, y1, method) که y و x متغییرهای مستقل و z تابع می باشد. X1 بردار نقاط گره ای طولها y1 بردار نقاط گره ای عرضها و method نوع درونیاب را مشخص می کند. اگر method بیان نشود درونیاب خطی دو بعدی اگر cubic نوشته شود درونیاب درجه سوم دو بعدی و اگر nearest نوشته شود درونیاب دو بعدی نزدیکترین همسایگی اجرا می شود. اسپالین درجه ی سوم : تابع اسپالین در ساده ترین حالت داده های x و y و مقادیر دلخواه x1 را دریافت می کند و چند جمله ای اسپالین درجه ی سوم درونیاب که x و y را برازش می کنند پیدا می کند و سپس با محاسبه ی چند جمله ای برای هر عنصر x1 مقدار y1 متناظر ب آن را محاسبه می کند. مثال زیر را در نظر می گیریم : >> x = 0 :.2 ; >> y = tan (pi * x/25) ; >> x1 = Lin space ( 0, 12 ) ;

28 >> y1 = spline ( x, y, x1 ) ; ) ; در این مثال نقاط گره ای x با مقادیرشان y داده شده است. حال به کمک تابع spline درونیاب spline برای نقاط (y x), نوشته می شود و این تابع درونیاب در نقاط x1 محاسبه می شود و مقادیر آن در بردار y1 ذخیره می شود. به کمک تابع plot نقاط (y x), و (y1 x1), به صورت خطی به هم وصل می شوند. اگر تابع spline فقط با دو آرگومان اول فراخوانی شود در این صورت آرایه ای که شامل تمام اطالعات مورد نیاز برای محاسبه ی اسپالین درجه ی سوم می باشد را ارائه می کند. >> P = spline (x, y) ; با استفاده از تابع PPval با معین بودن فرم P اسپالین درجه ی سوم را می توان در مجموعه ای از نقاط محاسبه کرد. >> x1 = Lin space (10, 12) ; >> y1 = PPval (p, x1) ; در این صورت مقادیر تابع درونیاب P که قبال برای داده های (y x), ساخته شده است در نقاط x1 محاسبه می شوند و در بردار y1 ذخیره می شوند. حتی می توان خارج از ناحیه ای که چند جمله ایهای اسپالین محاسبه شده اند مقادیر اسپالین را بدست آورد. اگر داده ها بعد از آخرین یا قبل از اولین نقطه ی دامنه ظاهر شوند برای یافتن مقادیر درونیابی شده از اولین و آخرین چند جمله ای درجه ی سوم استفاده شود. >> x1 = 10 : 15 ; >> y1 = PPval (p, x1) ; Y1 = در matlabمی توان به کمک تابع unmkpp اطالعات مربوط به اسپالین ساخته شده و ضابطه ی چند جمله ایهای اسپالین را مشاهده کرد. فرض کنید تابع اسپالین P ساخته شده باشد. قرار می دهیم : >> [ a, b, c, d ] = unmkpp (p) a = b =

29 c = 12 d = 4 در این مثال a نقاط انفصال را مشخص می کند. B ماتریسی است که سطر iام آن ضرایب iامین چند جمله ای اسپالین می باشد. مثال ضابطه ی اولین چند جمله ای این اسپالین به صورت زیر می باشد. c تعداد چند جمله ایها )تعداد ضابطه ها( برا برای این اسپالین بیان می کند و d تعداد ضرایب هر چند جمله ای را مشخص می کند. دقت شود این فرم کلی می باشد. همانطور که می دانیم چند جمله ایهای اسپالین درجه سه حداکثر از درجه ی 4 می باشند. تابع mkpp با دریافت اجزای شکسته شده ی باال فرم p را به حالت اول باز می گرداند. برای تولید p نقاط انفصال و ضرایب هر ضابطه کافی می باشد. >> p = mkpp (a, b) ; انتگرال گیری : اگر برای داده های (y x), تابع درونیاب اسپالین نوشته شده باشد برای محاسبه ی انتگرال هر ضابطه ی این اسپالین از تابع spintgrl استفاده می کنیم.

30 >> x = ( 0 : 0.1 : 1 ) * 2 * pi ; >> y = sin (x) ; >> p = spline (x, y) ; >> s = spintgrl (p) ; در این صورت s درونیاب اسپالین درجه سوم انتگرال تابع y = sin x در نقاط گره ای با تابع زیر برابر می باشد. در نقاط x می باشد. یعنی تابع s دیفرانسیل گیری : تابع spderiv از ضابطه های تابع اسپیالین مشتق می گیرد. در مثال باال اگر قرار دهیم >> q = spderiv (p) ; در این صورت ضابطه های تابع q با مشتق گیری از ضابطه های تابع p تولید می شوند. رسم نمودار : تابع fplot با دقت باالیی برای رسم نمودار تابع f(x) y = استفاده می شود. مثالهای زیر را در نظر می گیریم. - ; >> fplot (f, [ 0, 8] ) ; یا اینکه می توان نوشت : -, [0, 8] ; محاسبه ی ماکزیمم و می نیمم تابع : در matlab برای محاسبه ی می نیمم تابع یک بعدی دو تابع fmin و fmins ارئه شده است. از آنجایی که ماکزیمم f(x) با می نیمم f(x) برابر است از این توابع می توان برای یافتن ماکزیمم نیز استفاده کرد. تابع fmin مانند تابع fplot عمل می کند. 2*exp (-x).* sin, 2, 5)

31 x = یعنی مقدار تقریبی می نیمم تابع در فاصله ی [2, 5] در نقطه ی x= رخ می دهد. -, 0, 3) y = و مقدار ماکزیمم این تابع در نقطه ی =y حاصل می شود. با استفاده از آزمون مشتق به طور تحلیلی طول نقطه ی ماکزیمم و طول نقطه ی می نیمم برای این تابع می باشد. در این صورت مقدار خطا به صورت زیر می باشد. یافتن صفر : در matlab تابع fzero برای بدست آوردن ریشه ی تابع f به صورت زیر استفاده می شود., x0 ) که f تابع مفروض و x0 نقطه ای می باشد که ریشه ی تابع f در نزدیکی x0 خواسته شده است. >> ), 1 ) از این تابع برای بدست آوردن نقاطی که مقدار ثابت c باشند یعنی f(x) = c نیز استفاده می شود. به این طریق که قرار می دهیم g(x) = f(x) c سپس ریشه های g نقاط با مقدار ثابت c برای f می باشند.

32 انتگرال گیری : در matlab برای محاسبه ی عددی ناحیه ی زیر یک تابع در فاصله ای معین از سه تابع quad,trapz و quad8 استفاده می شود. تابع trapz به روش ذوزنقه ای مقدار انتگرال معین را محاسه می کند. >> x = 0 : 0.1 : 2*pi ; >> y = sin (x) ; >> A = trapz (x, y) A = توابع quad8 از تابع quad دقیقتر می باشد و این دو تابع مانند fzero فراخوانی می شوند. ), 0, 2 * pi ) A = 0 A ), 0, 2 * pi ) نمودار های دوبعدی : همانطور که قبال گفته شد می توان از تابع plot استفاده کرد. >> x = Lin space ( 0, 2 * pi, 30 ) ; >> y = sin (x) ; >> z = cos (x) ; >> plot (x, y, x, z);

33 عالمت رنگ و شکل خط : برای تعیین عالمت رنگ و شکل نمودار می توانیم در فرمان plot بعد از طول و عرض آرگومان اضافی وارد کرد. برای نوع رنگ و نوع خط نمودار تابع جدول زیر استفاده می شود. سمبل رنگ سمبل شکل خط زرد. نقطه y ارغوانی دایره m عالمت c فیروزه ای + قرمز جمع r * سبز ستاره g آبی خط توپر b : سفید نقطه چین W سیاه خط چین- نقطه چین K - خط چین - >> x = 0 : 0.1 : 2 * pi ; >> y = sin (x) ; >> z = cos (x) ; pl t,, g:,,, - ) افزودن شبکه نقاط و برچسب : فرمان grid on خطوط شبکه را در محل عالمتهای موجود در نمودار جاری اضافه می کند. یعنی حالت شطرنجی ایجاد می کند و دستور grid off خطوط شبکه ای را حذف می کند.

34 برای قرار دادن رشته ی متنی در نمودار با استفاده از ماوس در پنجره ای که نمودار رسم شده است آیکون text را کلیک می کنیم. حال در هر قسمتی از نمودار آماده ایم تا هر متنی که بخواهیم را تایپ کنیم. فرمان xlabel و ylabel برای برچسب گذاری محور افقی و عمودی استفاده می شود. فرمان title یک خط در باالی نمودار اضافه می کند. نمودارهای فرعی : برای اینکه در یک پنجره چندین نمودار را رسم کنیم از تابع (p subplot m), n, استفاده می کنیم. این تابع پنجره را به m و n قسمت تقسیم می کند و قسمت pام را برای رسم نمودار فعال می کند. نمودارها از چپ به راست و از باال به پایین شماره گذاری می شوند. >> x = Lin space (0, 2 * pi, 30) ; >> y = sin (x) ; >> z = cos (x) ; >> subplot (1, 2, 2) ; >> plot (x, z) ; نمودار های سه بعدی : در matlab برای رسم نمودارهای سه بعدی می توان از تابع plot3 استفاده کرد. اگر (y z=f x), به صورت ساده بیان شده باشد برای محاسبه ی تمام مقادیر z ابتدا باید تمام زوج های مرتب (y x), را تولید کرد و سپس z متناظر با هر کدام از این زوج ها محاسبه شود. برای ساختن تمام زوج های مرتب از تابع mesh grid استفاده می شود. >> x = -3 : 3 ; >> y = 1 : 5 ; >> [ x, y ] = meshgrid (x, y) ; >> z = (x + y). ^2 ; >> plot3 (x, y,z) ;

35 بردار x شامل 7 عنصر و بردار y شامل 5 عنصر می باشد. لذا تابع mesh grid 45 زوج مرتب می سازد سپس تابع z روی این زوج های مرتب عمل می کند. بنابراین z شامل 45 عنصر می باشد. تابع mesh نیز برای رسم رویه های سه بعدی به صورت (z mesh x), y, استفاده می شود. توابع دیگر که برای رسم نمودارهای سه بعدی استفاده می شوند به صورت زیر می باشند. : contour نمودار تراز دو بعدی. به عبارت دیگر نمودار تراز سه بعدی که از باال دیده می شود. : contour3 نمودار تراز. : fill3 چند ضلعی های تو پر. : meshc نمودار شبکه ای که در قسمت زیرین آن تراز قرار دارد. : meshz نمودار شبکه ای با صفحه ی صفر. : pcolor نمودار شبه رنگ دو بعدی. به بیان دیگر نمودار رویه که از باال دیده می شود. : quiver نمودار دوبعدی با فلش سرعت. : surf نمودار رویه. : surfc نمودار رویه که در زیر آن نمودار تراز قرار دارد. : surfl نمودار رویه با روشنایی. : waterfall نمودار شبکه ای بدون خطوط عرضی. دقت شود قبل از اجرای این توابع باید به کمک تابع mesh grid نقاط (z x), y, تولید شوند. محاسبات نمادین(سمبلیک) مجموعه ای از توابع که برای دستکاری و حل عبارات نمادین مانند ترکیب کردن ساده کردن دیفرانسیل گیری انتگرال گیری و حل معادالت جبری و معادالت دیفرانسیل به کار می روند را در این قسمت بررسی می کنیم. استخراج صورت و مخرج یک کسر : با استفاده از تابع numden این کار انجام می شود. قرار می دهیم :

36 [ n, d ] = numden به این ترتیب صورت عبارت در متغییر n و مخرج در متغییر d ذخیره می شود. * ^2/ ) ; >> [ n, d ] = numden (f) n = a * x ^ 2 d = b x برای عباراتی که به صورت آرایه ی نمادین می باشند نیز این تابع استفاده می شود. به این طریق دو آرایه ی جدید n و d تولید می شود که در آرایه ی n صورت ها و در d مخرج ها قرار می گیرد. k m /2, 2 * + )/ ; / ^2, * + ) K = >> [ n, d ] = numden (k) n = d = دقت شود در این مثال برای نمایش ماتریسی تابع sym الزم می باشد. اگر بدون این تابع بیان شود به صورت یک رشته ی کارکتری ذخیره می شود. k /2, 2* + )/ ; / ^2, * + ) k = [ 3/2, (2*x+1)/3 ; 4/x^2, 3*x+4 ] عملیات جبری :

37 برای جمع دو چند جمله ای تابع symadd برای تفریق تابع symsub برای ضرب تابع symmul و برای تقسیم تابع symdiv استفاده می شود. مثال اگر 5 3x g = x 2 x + 7, f = 2x 2 + داریم : >> f = ; g ^ ; >> symadd (f, g) ans = 3 * x ^ * x +2 mp w, ) ans = ( 2 * x * x 5) 3 از تابع sym pow برای به توان رساندن استفاده می شود. تابع همه منظوره ی دیگری به نام symop وجود دارد که امکان می دهد عبارتهای جدید با استفاده از متغییرها عبارتها و عملگرهای نمادین ایجاد شود. این تابع آرگومانها را متصل می کند و عبارت نتیجه c ) ; g 2 * ) ; mp w, /, g, +, ) ans = cos (x) / sin (2*x) +3 را بر می گرداند. این تابع می تواند روی آرایه ها نیز عمل کند. توابع پیشرفته : تابع compose برای ترکیب تابع finverse برای محاسبه ی معکوس تابع و تابع sym sum مجموع / + ^2) ; g ) ; >> compose (f, g) ; ans = 1/ (1 + sin (x)^2) نمادین عبارت را محاسبه می کند.

38 >> finverse (f) ; تابع sym sum چهار فرم دارد. ( a و b عدد می باشند ) حالت چهارم برای مواقعی به کار می رود که تابع چند متغییر مستقل داشته باشد. در این حالت متغییر مستقل حرف s در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ی داریم : m m 2* ) ^ 2,, ) ans = 11 / 3*n +8 / 3 4 * (n + 1) ^ 2+4 / 3 * (n + 1) ^ 3 >> factor (ans) ans = -1/5 * x + 3/50 * x ^2 41 / 750 * x ^ / 7500 * x ^ / * x ^ 5 +o(x^6) >> pretty (f) f =

39 عبارتهای نمادین را می توان در فرمهای مختلفی نمایش داد که در وضعیت های مختلف ممکن است ^ 2 1 )*(x 2) * (x ) ; >> collect (f) ans = x ^ 4 5 * x ^ * x ^ 2 6 >> horner (ans) Ans = -6 +(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x >> diff (f) Ans m *, * ^2 ; c* ^, * ) ; برخی از فرمها نسبت به بقیه ارجح تر باشد. این دستور با جمع عبارات مشابه فرم ساده شده را می دهد. عبارت ans را به صورت هورنر نمایش می دهد. انتگرال گیری : تابع int(f) سعی می کند عبارت نمادین دیگری مانند F پیدا کند که (F). diff t L g ) / p ^2) ) ans = int ( Log(x) / exp(x^2), x) به عبارت دیگر matlab قادر به محاسبه ی انتگرال این تابع نمی باشد. +2* ) ; >> int (f) ans = -1/2 * cos (s x)

40 t, ) ans = -cos (s + 2 * x) انتگرال تابع f نسبت به متغییر s گرفته می شود. >> int (f, pi/2, pi) ans = - cos (s) این دستور انتگرال معین را در فاصله ی π/2,π محاسبه می کند. این دستور انتگرال تابع f را در فاصله ی π/2,π می کند. t,, p /2, p ) ans = cos (2*x) sin (2*x) با توجه به اینکه s متغییر مستقل می باشد محاسبه t, m, ) ans = -1/2 * cos (s+2*n) + ½ * cos (s+2*m) این دستور انتگرال معین تابع f نسبت به متغییر x را در فصله ی [m,n] محاسبه می کند. >> factor (ans) ans = (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) این دستور عبارت ans را تجزیه می کند. >> expand(ans) ans = x^4 5 * x ^ 3 +5* x ^ * x -6 تابع simplify یکی از ابزار قوی و همه منظوره است که عبارت را توسط انواع بسیاری از اتحادهای جبری شامل مجموع عبارتها توانهای صحیح و کسری توابع مثلثاتی توابع نمایی توابع لگاریتم توابع بسل توابع فوق هندسی و توابع گاما ساده می کند. mpl L g 2* / ) ) ans = Log2+Logx-Logy mpl -a^2+1)/(1- ) )

41 ans = a+1 تابع simplify نسبت به تابع simple رسمیت کمتری دارد. تابع simple توابع ساده سازی مختلف را امتحان می کند سپس فرمی که کمترین تعداد کارکتر را در عبارت نتیجه ارائه می دهد انتخاب می کند. / ^ + / ^2 + 2/ + ) ^ / ) هدف ساده کردن عبارت ریاضی زیر می باشد. >> simple ( f ) ans = (2 * x + 1) / x برای امتحان اینکه آیا عبارت ساده تر می شود یا خیر دوباره تابع simple را به کار می بریم. >> simple (ans) ans = / x حل یک معادله ی جبری : برای این کار matlab از تابع solve استفاده می کند. >> solve ( * ^ 2 + * + c ) هدف حل معدله ی +bx+c=0 ax 2 می باشد. ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) ] [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) ] اگر بخواهیم معادله را بر مبنای متغییر دیگر غیر از متغییر پیش فرض x حل کنیم باید در تابع solve آن را مشخص کنیم. lv * ^2 + * + c, ) این معادله نسبت به متغییر b حل می شود. ans = -(a*x^2+c)/x

42 این تابع معادالت نمادینی را نیز که حاوی عالمت تساوی باشند می تواند حل کند. برای مشاهده مقادیر عددی قرار می دهیم. حل چند معادله ی جبری : lv c ) ) ) ans = 1/4 * pi t lv t 2* ) ) ) t = [ 0 ] [ a cos (1/2+1/2*3^(1/2)) ] [ a cos (1/2-1/2*3^(1/2)) ] >> numeric (t) ans = i چند معادله ی جبری را می توان همزمان حل کرد. دستور sn) n solve,s1),...,s2 معادله بر حسب متغییرهای پیش فرض حل می کند. دستور ), 2,,,, 2,, lv نمادین را برای n مجهول xn... x2 x1 حل می کند. فرض کنید می خواهیم مجموعه معادالت نمادین زیر را حل کنیم. n معادله ی در این صورت قرار می دهیم

43 + + p / 2 ; 2 P ; + p + / ; + p + 1 ; >> [ x,,, t lv, 2,,, p,,, ) x = 16 y = 8 z = 3 t = 15 y مقدار z n مقدار d و t مقدار q می باشد. که مقدار p حل یک معادله ی دیفرانسیل : تابع d solve برای حل یک معادله ی دیفرانسیل به کار می رود. با توجه به اینکه حرف D معرف مشتق اول حرف D2 مشتق دوم و الی آخر می باشد. فرض کنید می خواهیم معادله ی دیفرانسیل lv D + ^ 2 ) ans = - tan ( - x + c1) lv D + ^ 2, ) ) y = tan (x + ¼ * pi) lv D + ^2, ), ) ans = tan (z + ¼ * pi) را حل می کنیم. می نویسیم که c1 ثابت انتگرال گیری می باشد. با شرط اولیه = 1 (0)y داریم متغییر مستقل را می توان مشخص کرد. فرض کنید می خواهیم معادله ی مرتبه ی دوم زیر را حل کنیم.

44 lv D2 c 2* ), D ), ) ) y = -2/3 * cos (x) ^ 2 +1 /3 +4 / 3 * cos (x) >> y = simple (y) y = - 1/3 * cos (2 * x) + 4/3 * cos (x) حل چند معادله ی دیفرانسیل : تابع d solve می تواند چند معادله ی دیفرانسیل را نیز همزمان حل کند. فرض کنید, g lv D * + * g, Dg - * + * g ) f = c1 * exp (3*x) * sin (4*x) + c2 * exp (3*x) * cos (4*x) g = -c2 * exp (3*x) * sin (4*x) + c1 * exp (3*x) * cos (4*x) با افزودن شرایط اولیه ی 0= (0)f و = 1 (0)g داریم : ), g lv D * + * g, Dg = - * + * g, ), g ) f = exp (3*x) * sin (4*x) g = exp (3*x) * cos(4*x) ماتریس های نمادین : این نوع ماتریسها را از قبل می دانیم که توسط تابع sym می توان تولید کرد. m c t), t) ; - sin t), c t) ) A = [ cos (t), sin (t) ] [ -sin (t), cos(t) ]

45 تابع sym را می توان به فرمولی که عناصر مجزا را مشخص می کند بسط داد با توجه به اینکه i و j موقعیت سطر و ستون ماتریس می باشند. فرض کنید می خواهیم ماتریس 4 4 تولید کنیم که a ij = ( i ) s + j )/( i j + که s یک ثابت دلخواه می باشد. m,, + j ) / j + ) ) A = [ 2/s, 3/ ( -1 + s ), 4/ ( -2 + s ) ] [ 3/ ( 1 + s ), 4/s, 5/( -1 + s) ] [ 4/ ( 2 + s ), 5/ ( 1 + s), 6/s] برای دسترسی به عنصر (n m), ام ماتریس نمادین A از دستور (n sum A), m, استفاده می شود. >> sym (A, 2, 2) ans = 4/s همچنین تابع sym برای تغییر عنصر آرایه ی نمادین استفاده می شود. دستور ),, m m, باعث می شود که عنصر (n m), ام ماتریس A به x تبدیل شود. عملیات جبری : با استفاده از تابع sym add می توان برای جمع ماتریس های نمادین و یا جمع یک عبارت نمادین به تمام عناصر یک ماتریس استفاده کرد. مثال دستور ( t m, باعث می شود. که حرف t به تمام عناصر ماتریس A اضافه شود.تابع sym sub برای تفریق تابع sym mul برای ضرب و تابع sym div برای تقسیم استفاده می شود. توسط تابع sym pow توان و تابع transpose برای محاسبه ی ترانهاده ی ماتریس نمادین استفاده می شود. وارون و دترمینال ماتریسهای نمادین توسط توابع inverse و determ محاسبه می شوند. ماتریس هیلبرت 4 4 را در نظر می گیریم. >> H = sym ( hilb (3)) H = [ 1, 1/2, 1/3 ] [ 1/2, 1/3, 1/4 ]

46 [ 1/3, 1/4, 1/5 ] >> determ (H) ans = >> j = inverse (H) j = [ 9, -36, 30 ] [ -36, 192, -180 ] [ 30, -180, 180 ] تابع Linsolve برای حل همزمان معادالت خطی به کار می رود. (B Linsolve A), معادله ی ماتریسی AX = B راحل می کند که X یک ماتریس مربعی می باشد. جواب Linsolve(A,I) (AX = (I وارون ماتریس A می باشد( -1 A.(X = تابع charpoly چند جمله ای مشخصه ی یک ماتریس را پیدا می کند. m, /2 ; /, / ) A = [ 1, 1/2 ] [ 1/3, 1/4 ] >> charpoly (A) ans = x ^ 2 5 / 4 * x + 1 / 12 مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس های نمادین توسط تابع eigensys محاسبه می شود. m /2, / ; /, /2 ) ; >> eigensys (A) ans = [ 3/4 ] [ 1/4 ] >> [ V, E ] = eigensys (A)

47 در این صورت بردار متناظر با مقدار ویژه ی 6/4 و V = [ -1, 1 ] [ 1, 1] E = [ 1/4 ] [ 3/4 ] بردار متناظر با مقدار ویژه ی 4/4 برای ماتریس A می باشند. برای محاسبه ی مقادیر تکین ماتریس A از تابع singvals استفاده می کنیم. اکنون به مثال هایی چند می پردازیم: انتگرال گیری عددی :

48 و فرمول ذوزنقه فرمول سیمسون سوال:انتگرال زیر را با هر دو روش محاسبه کنید تابع ثابت و داده های عددی متغیر فرض شده است : قاعده ذوزنقه clc % is function = x.e^x clear format short e s=0; a=input('interval start =?'); b=input('interval end =?'); n=input(' add step =?'); h=(b-a)/n; for i=0:n if i==0&n s=s+((i*h)*exp(i*h)/2); else s=s+(((i*h)*exp(i*h))); end end s=(h)*s; disp(s) return حل مساله)جواب واقعی ) ( جواب با درایو شده است.( interval start =?0 interval end =?2

49 add step =? e+000 ********************************************************* قاعده سیمسون clc % is function = x.e^x clear format short e s=0; a=input('interval start =?'); b=input('interval end =?'); n=input(' add step =?'); h=(b-a)/n; for i=0:n if i==0&n s=s+((i*h)*exp(i*h)); elseif (i/2)~=floor(i/2) s=s+(4*((i*h)*exp(i*h))); else s=s+(2*((i*h)*exp(i*h))); end end s=(h/3)*s; disp(s) return حل مساله interval start =?0 interval end =?2 add step =? e+000 ************************************************ حال با تلبع آن ها می نویسیم : فایل جدا صدا زده شود. mتابع بصورت

50 distتابع function g=dist(h) s=0; s=h*exp(h); g=s; برنامه اصلی clc % is function = x.e^x clear format short e s=0; a=input('interval start =?'); b=input('interval end =?'); n=input(' add step =?'); h=(b-a)/n; for i=0:n if i==0&n s=s+(dist(i*h)); elseif (i/2)~=floor(i/2) s=s+(4*dist(i*h)); else s=s+(2*dist(i*h)); end end s=(h/3)*s; disp(s) return اجرا interval start =?0 interval end =?2 add step =? e+000 ************************************** حال با تلبع آنرا می نویسیم:سیمسون تابع در دل برنامه نوشته شود و داده ومتغیر هر دو متغیر :

51 clc % is function = x.e^x clear format short e s=0; fun=input('input function = ','s'); f=sym(fun); a=input('interval start =?'); b=input('interval end =?'); n=input(' add step =?'); h=(b-a)/n; for i=0:n if i==0&n s=s+(subs(f,i*h)); elseif (i/2)~=floor(i/2) s=s+(4*subs(f,i*h)); else s=s+(2*subs(f,i*h)); end end s=(h/3)*s; disp(s) return اجرا input function = x*exp(x) interval start =?0 interval end =?2 add step =? e+000 function d=fact(n) s=1; ************************************ تابع فاکتوریل

52 for i=1:n s=s*i; end disp(s) اجرا fact(10) ***************************************** m تا nمجموع اعداد از clc clear n=input('enter min number n =?'); m=input('enter max number m =?'); s=0; for i=n:m s=s+i; end d=['majoeh adad = ',num2str(s),' ok']; disp(d) return اجرای آن : enter min number n =?10 enter max number m =?100 majoeh adad = 5005 ok clc clear a=input('enter a : '); b=input('enter b : '); مشخص کردن انواع مثلث

53 c=input('enter c : '); s=0; if (a==b)&(b==c)&(b==c) d=['motesaviol azla']; disp(d) elseif (a==c) (a==b) (b==c) d=['motesaviol saghin']; disp(d) elseif (a^2==b^2+c^2) (b^2==a^2+c^2) (c^2==b^2+a^2) d=['ghaemolzavieh']; disp(d) else d=['mokhtaefol azla']; disp(d) end حل معادله درجه 8 clc clear a=input('enter min number a =?'); b=input('enter max number b =?'); c=input('enter max number c =?'); s=0; d=b^2-4*a*c; if a==0 [' dgree eqation is 1!!!!'] elseif d<0 k=[' no answer!!!!!!!!']; disp(k) elseif d==0 x1=(-b/(2*a)); k=[' roots = ',num2str(x1)]; disp(k) else x1=(-b+sqrt(d))/(2*a); x2=(-b-sqrt(d))/(2*a); k=[' roots = ',num2str(x1),' and ',num2str(x2)]; disp(k) end

54 return اجرا enter min number a =?1 enter max number b =?5 enter max number c =?6 roots = -2 and -3 فاکتوریل clc clear n=input('enter min number n =?'); s=1; if n<0 d=[' no answer!!!!! azizim adad bayad + bashad.']; disp(d) else for i=1:n s=s*i; end d=[' factoril adad = ',num2str(s),' ok']; disp(d) end return اجرا enter min number n =?10 factoril adad = ok برنامه اجرای clc clear n=input('enter min number n =?'); s=0; for i=1:n s=s+(-1)^(i+1)*(i/(i+1)); end

55 d=['majoeh adad = ',num2str(s),' ok']; disp(d) return اجرا enter min number n =?10 majoeh adad = ok حلقه ها While دستور clc clear n=input('enter n =? '); i=0; while i<n i=i+1 ; disp(i) end return دستور switch clc clear d=input('enter d, if be 0<=d<=11 : ') switch d case {2,8} disp('emame aval'); case {1,7} disp('markaze ostane golestan?'); case {3,9} disp('markaze ostane hormozgan?'); case {4,5} disp('hesab kon 12*15=?'); case {6} disp('4*2/3-1?'); case {10,11} disp('pitakhte tiland?'); otherwise disp('bye bye'); end

56 clc clear a=input('enter a : '); b=input('enter b : '); c=input('enter c : '); s=0; n=input('enter 1=+ 2=- 3=* 4=/ =? '); switch n case {1} s=a+b+c; disp(s); case {2} s=a-b-c; disp(s); case {3} s=a*b*c; disp(s); case {4} s=a/b/c; disp(s); otherwise disp('error bye bye'); end انواع مثلث clc clear a=input('enter a : '); b=input('enter b : '); c=input('enter c : '); s=0; if (a==b)&(b==c) d=['motesaviol azla']; disp(d) elseif (a==c) (a==b) (b==c) d=['motesaviol saghin']; disp(d) elseif (a^2==b^2+c^2) (b^2==a^2+c^2) (c^2==b^2+a^2) d=['ghaemolzavieh']; disp(d) else d=['mokhtaefol azla']; disp(d) end ویا

57 ایجاد منو clc clear k=0; while k~=3 k=menu('click on your option','do this','do that','quit'); if k==1 disp(' what is your name?') pause elseif k==2 disp('how do you do?!') pause end end; رسم فنر clc x=[0:.1:20*pi]; y=sin(x); z=cos(x); plot3(y,z,x,'r') xlabel('ali') ylabel('reza') title('bahram')

58 koko doubl fanrieh fanarieh clc clear for i=1:10 for j=1:10 جدول ضرب end A(i,j)=i*j; end disp(i)

59 ارجا اهرسک هیزجت clc clear num=10*[1 2]; den=poly([-1;-3;-4]) [res,poles,k]=residue(num,den) ارجا res = اهرسک تروص poles = اهرسک جرخم هشیر

60 = باقیماندهk ][ دیفرانسیل چندجمله ای ها ی کسری clc clear num=10*[1 2]; den=poly([-1;-3;-4]); [b,a]=polyder(num,den) اجرا = چندجمله ای صورتb = چندجمله ای مخرجa اعدا د اول بین دو عدد clc clear range=input('range=? [a b]'); x1=range(1); x2=range(2); a=1; for j=x1:x2 s=0; for i=1:j-1 r=j-fix(j/i)*i; if r==0 s=s+i;

61 end end if s==1 nums(a)=j; a=a+1; end end disp('adade aval=') disp(nums) اجرا range=? [a b][5 30] adade aval= تابع اندازه function u=dist(x1,y1,x2,y2) dx=x2-x1; dy=y2-y1; u=sqrt(dx^2+dy^2); اجرا dist(2,1,4,5) ans = تابع باال با دو خروجی function [u,v]=dist2(x1,y1,x2,y2) dx=x2-x1; dy=y2-y1; u=sqrt(dx^2+dy^2); v=atan(dy/dx); اجرا [a r]=dist2(1,5,4,8) a =

62 e+000 r = e-001